Volume of Frustum (अपूर्ण शंकु अर्थात् छिन्नक का आयतन)

शंकु (cone) का एक वृत्ताकार (circular) समतल सिरा होता है तथा क्रमशः सूच्याकार (acicular) अर्थात् सूई के समान नुकीला को धारण करता है। पर ऐसा कूप जो ऊपर वृत्ताकार है तथा क्रमशः तिरछी ऊँचाई (slant Height) को धारण करते हुए सूच्याकार (acicular) बनने को अग्रसर होकर भी अन्ततः छोटे तलज या सतह वृत्त का रुप धारण कर लेता है, वह अपूर्ण शंकु अर्थात् छिन्नक (frustum) का उदाहरण है।
श्रीधराचार्य ने ऐसे कूप का आयतन प्राप्त करने के लिए यह सूत्र प्रस्तुत किया है —
मुखतलतद्योगानां वर्गैक्यकृतेः पदं दशगुणायाः ।
वेधगुणं चतुरन्वितविंशतितिभक्तं फलं कूपे।।
—त्रिशतिका सूत्र, श्लोक – 54
अर्थात्
मुख के व्यास का वर्ग, तल के व्यास का वर्ग तथा इन दोनों के व्यास का वर्ग— इन्हें परस्पर संयुक्त करके इनका वर्ग प्राप्त करें तथा 10 से गुणित करें। इस सम्पूर्ण का वर्गमूल प्राप्त करें। इसे इसकी ऊंचाई से गुणित करें तथा 24 से विभाजित करें। इससे ऐसे कूप का घनफल या आयतन प्राप्त होता है।
इन संक्रियाओं से हमें यह सूत्र प्राप्त होता है—
अपूर्ण शंकु का आयतन—
ऊँचाई /24 [10 × {D² + d² +(D + d)²}²]¹’²
(10)¹’²ऊँचाई /24 [{D² + d ² +(D + d)²}²]¹’²
आधुनिक सूत्र के अनुसार—
छिन्नक का आयतन =
पाई / 3 × ऊँचाई ×(R² + R. r + r²)
इस सूत्र के कोष्ठक के प्रत्येक उपबंध “वृत्त के क्षेत्रफल” के समकक्ष है। अतः इस सूत्र को इस प्रकार भी लिख सकते हैं—
अपूर्ण शंकु का आयतन =

ऊँचाई /6 × (मुखज का क्षेत्रफल + तलज का क्षेत्रफल + युतिज का क्षेत्रफल)

उदाहरण :-
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल :-
छिन्नक (frustum) की ऊँचाई =14 cm
छिन्नक (frustum) का बड़ा व्यास (D) = 4 cm
छिन्नक (frustum) का छोटा व्यास (d) =2 cm
अपूर्ण शंकु का आयतन—
ऊँचाई /24 [10 × {D² + d² +(D + d)²}²]¹’²
14/24 [10 × {4² + 2² +(4 + 2}²]¹’²
7/12 [10× {16 + 4 + 6²} ²]^½
7/12 ×[10 × { 56}²]^½
7/12 ×[10 × 3136]^½
7/12 × [31360]^½
7/12 × 177.0875
103.301 cm³

आधुनिक विधि :-
हल:
दिया गया है,
शंकु के छिन्नक (frustum) की ऊँचाई =14 cm
शंकु के छिन्नक (frustum) का बड़ा व्यास = 4 cm
अत: शंकु के छिन्नक (frustum) की त्रिज्या =2cm
शंकु के छिन्नक (frustum) का छोटा व्यास =2 cm
शंकु के छिन्नक (frustum) का छोटी वाली त्रिज्या=1cm
अत: गिलास का आयतन अर्थात धारिता =?
शंकु के छिन्नक (frustum) का आयतन = पाई / 3 × ऊँचाई ×(R² + R. r + r²)
=1/3×22/7×14(2²+1²+2×1) cm³
=1/3x22x2(4+1+2)cm³
=44/3 x7 cm³
=308/3cm³
=102. 66.. cm³
अत: दिये गये गिलास की धारिता =102. 66.. cm³
नोट :- उपरोक्त उदाहरणों में उत्तर का अन्तर पाई के बदले मान के कारण है।

।। अभ्यास।।
प्रश्न (1)
एक शंकु के छिन्नक (frustum) की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 cm और 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न (2)
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (देखिए आकृति)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm है, उपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक की ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Volume of Frustum (अपूर्ण शंकु अर्थात् छिन्नक का आयतन)

http://www.manasganit.com/Post/details/19-volume-of-frustum