द्विपद का वर्ग (Square of the Binomial Dwipad
Ka Varg)

"वीरभोग्या वसुंधरा"
हमारी भारतीय सभ्यता तथा संस्कृति अनेक विद्वान /विदुषी के अद्भुत ज्ञान-विज्ञान ओत-प्रोत है। इसी क्रम
में आज हम गणित के एक संक्रिया (Operation) की चर्चा करते हैं। कक्षा छठी तथा सातवीं में हम अपने बच्चों
को सर्वसमिका (Identity) पढाते हैं परन्तु यह नहीं बताते कि यह कार्य किसने किया है।

भास्कराचार्य के सूत्र :-
खण्डद्वयस्याभिहतिर्द्विनिघ्नी तत्खण्डवर्गैक्ययुता कृतिर्वा ।
( —लीलावती, अभिन्नपरिकर्माष्टक, श्लोक – 9)
अर्थात :-
जिस संख्या का वर्ग करना हो उसका दो खण्ड करके, उन खण्डों के गुणनफल के द्विगुणित को उन खण्डों के
वर्ग-योग के साथ जोड़ने से संपूर्ण संख्या का वर्ग प्राप्त होता है।
इससे प्राप्त सर्वसमिका को गणितीय भाषा में यों लिखते हैं —
( a + b) ² = a ² + b ² + 2 a b
गणित-कौमुदीकार ने इस नियम को अधिक मनोरंजक, रोचक तथा व्यापक रीति से इस प्रकार प्रस्तुत किया
है।
वर्गयुतिः प्रथमा स्यादभिष्टायोराहतिर्द्विगुणिताअ्न्य।
संयोगे च वियोगे च पृथक् तयोर्जायते वर्गः ।।
अर्थात :-
किन्हीं दो अभीष्ट संख्याओं के वर्ग का जोड़ तथा उन अभीष्ट संख्याओं के गुणनफल का द्विगुणन, ये दो ऐसी
राशियाँ है, जिनका जोड़ तथा घटाव वर्ग बनता है।
इससे प्राप्त व्यापक सूत्र को गणितीय भाषा में इस प्रकार लिखते हैं —
( a ± b) ² = a ² + b ² ± 2 a b
उदाहरण (Example)
(10)²
= ( 10 + 2)
= (10)² + 2 × 10 × 2 + (2)²

= 100 + 40 + 4
= 144
अभ्यास ( Exercise)
(1) ( 3 x + 5 y) ² (2) ( 7 p – 9 q) ²
(3)  ( 102) ² (4) (97) ² (5) ( 10.1) ²
(6) यदि ( a + b) = 5 तथा ab = 6 है तो a² + b² का मान ज्ञात किजिए।
( If ( a + b) = 5 and ab = 6 then find the value of a² + b².)
(7) यदि a² + b² = 25 तथा a+b = 7 है तो ab का मान क्या होगा ?
( If a² + b² = 25  and a+b = 7 then what is the value of ab ?)
(8) यदि X² + Y² = 74 तथा XY = 35 है तो X तथा Y का मान क्या होगा ?
( If X² + Y² = 74  and XY = 35 then what is the value of X  and  Y ?)
द्विपद का वर्ग (Square of the Binomial Dwipad Ka Varg)
http://www.manasganit.com/Post/details/48–square-of-the-binomial-dwipad-ka-varg