Square by Duplex Method(द्वंद्व योग विधि द्वारा वर्ग) 

यह विधि ऊर्ध्वतिर्यक (Vertically and Crosswise) सूत्र का ही एक अनुप्रयोग है।

(1) एक अंक का द्वंद्व योग (Duplex of One-digit No.)
a का द्वंद्व योग D(a) = a²
उदाहरण :-
3 का द्वंद्व योग D(3)= 2² = 4
4 का द्वंद्व योग D(4) = 4² = 16

(2) दो अंकों का द्वंद्व योग (Duplex of Two-digit No.)
ab का द्वंद्व योग D(ab) = 2(a × b)
उदाहरण :-
23 का द्वंद्व योग D(23)= 2 (2 × 3) = 12
34 का द्वंद्व योग D(34)= 2 (3×4) = 24

(3) तीन अंकों का द्वंद्व योग (Duplex of Three-digit No.)
abc का द्वंद्व योग D(abc) = 2(a × c) + b²
उदाहरण :-
123 का द्वंद्व योग D(123)= 2 (1 × 3) + 2² = 10
234 का द्वंद्व योग D(234)= 2 (2×4)+ 3² = 25

(4) चार अंकों का द्वंद्व योग (Duplex of Four-digit No.)
abcd का द्वंद्व योग D(abcd) = 2(ad) + 2(bc)
उदाहरण :-
1234 का द्वंद्व योग D(1234)= 2(1×4)+2(2×3) = 20
2345 का द्वंद्व योग D(2345)= 2(2×5)+2(3×4) = 44

।। दो-अंकों वाली संख्या का वर्ग (Square of two-digits number) ।।
अंकगणितीय उदाहरण (Arithmetic Example) – 1
(1) (34)²
= D(3) / D(3, 4) / D(4)
=  3² / 2( 3×4) / 4²
=  9 / 24 / 16
=  (9+2) / (4+1) / 6
= 11 5 6  (उत्तर)
बीजगणितीय उदाहरण (Algebraic Example)
(2) (2x + 3)²
= D(2x) / D(2x, 3) / D(3)
= (2x)² / 2( 2x. 3) / 3²
= 4x² + 12x + 9 (उत्तर)

अभ्यास (Exercise) -1
(1) (53)² (2) (73)² (3) (87)² (4) (94)²
(5) (2x – 3y)² (6) (2p + 7q)² (7) (7m – 9)²
(8) (¼p + ¾q)² (9) (sin X + cos Y)²
(10) (sin X – cos Y)²

।। तीन-अंकों वाली संख्या का वर्ग (Square of three-digits number) ।।
अंकगणितीय उदाहरण (Arithmetic Example) – 2
(1) (234)²
= D(2) / D(2, 3) / D ( 2, 3, 4) / D (3, 4) / D(4)
= 2² / 2( 2×3) / 3² + 2(2×4) / 2(3×4) / 4²
= 4 / 12 / 25 / 24 / 16
= (4+1) / (2+2) / (5+2) / (4+1) / 6
= 5 4, 7 5 6
बीजगणितीय उदाहरण (Algebraic Example)
(2) ( X + Y + Z)²
= D(X) / D(X, Y) / D ( X, Y, Z) / D (Y, Z) / D(Z)
= X² / 2( X×Y) / Y² + 2(X×Z) / 2(Y×Z) / Z²
= X² + 2XY + Y² + 2XZ + 2YZ + Z²
=X² + Y² + Z² + 2(XY + YZ + ZX)

अभ्यास (Exercise) – 2
(1) (123)², (2) (345) ², (3) (27. 5)², (4) (3.25)²,
(5) (2x + 3y + 4z)², (6) ( 2p – 3q – 5r)²,
(7) (½p +⅔q – ¾r)², (8) (2x + sinX + cosY)², (9) ( 4i + sinX + cosecX)².

।। चार-अंकों वाली संख्या का वर्ग (Square of four-digits number) ।।
अंकगणितीय उदाहरण (Arithmetic Example)-3
(1) (1234)²
= D(1) / D(1,2) / D ( 1,2, 3) / D (1, 2, 3, 4) /D(2, 3, 4) /D (3, 4) /D(4)
= 1² / 2(1×2) / 2² + 2(1×3) / 2(1×4) + 2(2×3) /3² + 2(2×4) / 2(3×4) / 4²
= 1 / 4 / 10 / 20 / 25 / 24 / 16
= 1/ (4+1)/(0+2)/(0+2)/(5+2)/(4+1)/6
= 1 5 2 2 7 5 6
बीजगणितीय उदाहरण (Algebraic Example)
(2) ( W + X + Y + Z)²
= D(W) / D(W, X) / D (W, X, Y) / D (W, X, Y, Z ) /D(X, Y, Z) /D (Y, Z) /D(Z)
= W² / 2(W×X) / X² + 2(W×Y) / 2(W×Z) + 2(X×Y) /Y² + 2(X×Z) / 2(Y×Z) / Z²
= W² + 2WX + X² + 2WY +2WZ +2XY + Y² 2XZ + 2YZ + Z²
= W² + X² + Y² + Z² + 2WX + 2XY + 2YZ + 2ZW

अभ्यास (Exercise) – 3
(1) (2345)², (2) (3456)², (3) (243.5)²,
(4) (1.875)², (5) (2k + 3l – 4m + 5n)²,
(6) (⅓a – ⅔b + ¾c – ¼d)²,
(7) (sinX + cosX + cosecX + secX)²,
(8) ( 2x + sinX – 3y + cosY)²

Square by Duplex Method(द्वंद्व योग विधि द्वारा वर्ग) 

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