Divisibility by Osculator
विभाजनीयता (Divisibility)
संख्या सिद्धांत के आधार पर कोइ पूर्णांक संख्या किसी अन्य पूर्णांक संख्या से पूर्णतः विभाजित होती है; तो
पहली पूर्णांक संख्या दूसरी पूर्णांक संख्या से विभाज्य कही जायेगी।
वैदिक गणित के आधार पर 2, 3, 4, 5, 6, 8 तथा 10 के विभाजनीयता की जाँच वैदिक गणित के बारहवां
उपसूत्र विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से तथा 1, 3, 7 तथा 9 के विभाजनियता की जाँच
वैदिक गणित के पांचवाँ उपसूत्र वेष्टनम् (By osculation) के माध्यम कर सकते हैं।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 2 से विभाजनीयता की जाँच
कोई सम पूर्णांक संख्या हो; तो ऐसी संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित कही जायेगी।
संख्या दाँयें से प्रथम अंक निष्कर्ष
72 2 विभाजित है।
251 1 विभाजित नहीं है।
(552)2 22 = 4 विभाजित है।
37×42+286 7×2+6 = 20 विभाजित है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 3 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या का मूलांक/बीजांक (Digital Root) 3 से विभाज्य हो; तो उक्त संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित
कही जायेगी।
संख्या मूलांक/बीजांक (Digital Root) निष्कर्ष
723 3 विभाजित है।
2513 2 विभाजित नहीं है।
(552)2 = 304704 9 विभाजित है।
37×42+286 = 1840 4 विभाजित नहीं है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 4 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या के दाँयें से प्रथम तथा द्वितीय अंकों निर्मित संख्या (N) यदि 4 से विभाज्य हो; तो पूरी संख्या 4
से विभाजित कही जायेगी।
संख्या (N ÷ 4) निष्कर्ष
148 (48 ÷ 4) विभाजित है।
1038 (38 ÷ 4) विभाजित नहीं है।
(552)2 = 304704 (04 ÷ 4) विभाजित है।
670786 (86 ÷ 4) विभाजित नहीं है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 5 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या अर्थात् उक्त संख्या के दाँयें से प्रथम अंक के स्थान पर अंक 0 अथवा 5 हो; तो ऐसी संख्या 5 से
पूर्णतः विभाजित कही जायेगी।
संख्या दाँयें से प्रथम अंक निष्कर्स
155 5 विभाजित है।
1038 8 विभाजित नहीं है।
1576000 0 विभाजित है।
670786 6 विभाजित नहीं है ।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 6 से विभाजनीयता की जाँच
कोइ संख्या यदि 2 तथा 3 से विभाज्य हो; तो पूरी संख्या 6 से विभाजित कही जायेगी।
संख्या दाँयें से प्रथम अंक बीजांक(Digital Root) निष्कर्ष
216 6 9 विभाजित है।
2021 1 5 विभाजित नहीं है।
729006 6 6 विभाजित है।
89335603 3 1 विभाजित नहीं है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 8 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या के दाँयें से प्रथम, द्वितीय तथा तृतीय अंकों निर्मित संख्या (N) यदि 8 से विभाज्य हो; तो पूरी
संख्या 8 से विभाजित कही जायेगी।
संख्या (N ÷ 8) निष्कर्ष
1048 (048 ÷ 8) विभाजित है।
26156 (156 ÷ 8) विभाजित नहीं है।
(552)2 = 304704 (704 ÷ 8) विभाजित है।
670786 (786 ÷ 8) विभाजित नहीं है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 9 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या का मूलांक/बीजांक(Digital Root) 9 हो; तो उक्त संख्या 9 से पूर्णतः विभाजित कही जायेगी।
संख्या मूलांक/बीजांक(Digital Root) निष्कर्ष
72 9 विभाजित है।
251 8 विभाजित नहीं है।
(552)2 = 304704 9 विभाजित है।
37×42+286 = 1840 4 विभाजित नहीं है।
विलोकनम् (By mere observation) के माध्यम से संख्या 10 से विभाजनीयता की जाँच
किसी संख्या के दाँयें से प्रथम अंक के स्थान पर अंक 0 हो; तो ऐसी संख्या 10 से पूर्णतः विभाजित कही
जायेगी।
संख्या दाँयें से प्रथम अंक निष्कर्ष
1550 0 विभाजित है।
10238 8 विभाजित नहीं है।
1576000 0 विभाजित है।
670786 6 विभाजित नहीं है।
अभ्यास – 1
वैदिक गणित के आधार पर 2, 3, 4, 5, 6, 8 तथा 10 के विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
1. 2408
2. 10056
3. 6324.5
4. 295 X 295
5. 102 X 103 X 104
6. 998 X 995 X 996
7. 1234 X 2351
8. (105.25)2
9. (87254)2 – (12745)2
10. (1002)3 – (998)3
आश्लेषक विधि (Osculator Method)
“एकाधिक” के प्रयोग द्वारा विभाजनीयता जिस प्रक्रिया से होता है उस प्रक्रिया को तकनिकी भाषा में वेष्टनम्
अथवा आश्लेषण (osculation) कहते हैं।
वैदिक गणित के आधार पर 1, 3, 7 तथा 9 के विभाजनीयता की जाँच वैदिक गणित के पांचवाँ उपसूत्र
वेष्टनम् (By osculation) के माध्यम कर सकते हैं।
वेष्टनम् (By osculation) के माध्यम से संख्या 7 से विभाजनीयता की जाँच
भाजक 7 के लिए आश्लेषक,
सूत्र प्रयोग – एकाधिकेन पूर्वेण (One more than the previous one)
भाजक 7 का वर्ग = (7)2 = 7×7 = 49
संख्या 4 9 में 4 का एकाधिकेन अर्थात् 4 9+1 = 5 0
अतः 7 का धनात्मक आश्लेषक 5
तथा ऋणात्मक आश्लेषक भाजक – धनात्मक आश्लेषक अर्थात् (7-5) = 2
या भाजक 7 के ऋणात्मक आश्लेषक प्राप्त करने के लिए भाजक 7 में 7 के परम मित्र संख्या से गुणा करने प्राप्त
गुणनफल का एकन्यूनेन
7 x 3(7 के परम मित्र संख्या) = 21 – 1 = 2 0 अर्थात् भाजक 7 के ऋणात्मक आश्लेषक 2 होगा
भाजक 7 के धनात्मक आश्लेषक 5 से विभाजनीयता की जाँच
उदाहरण
संख्या (Number)
धनात्मक आश्लेषण
(+ve Osculation)
निष्कर्ष (Conclusion)
14 1+ 4X5 = 21 विभाजित है।
28 2+8X5 = 42 विभाजित है।
49 4 +9X5= 49 विभाजित है।
84 8 +4X5= 28 विभाजित है।
91 9 +1X5= 14 विभाजित है।
147 14 +7X5= 49 विभाजित है।
287
28+7X5 = 35+28 = 63
6 +3X5= 15+6 = 21
विभाजित है।
861
86+1X5 = 91
9 +1X5= 14
विभाजित है।
716128
71612 + 8X5 = 40+71612 = 71652
7165 + 2X5 = 10+7165 = 7175
717 + 5X5 = 25+717 = 742
74 + 2X5= 84
8 + 4X5= 28
विभाजित है।
735826
73582+6X5 = 30+73582 = 73612
7361+2X5 = 7371
737 +1X5= 742
74 +2X5= 84
8 +4X5= 28
विभाजित है।
उदाहरण
संख्या 7 के ऋणात्मक आश्लेषक 2 से विभाजनीयता की जाँच
संख्या (Number)
धनात्मक आश्लेषण
(+ve Osculation)
निष्कर्ष (Conclusion)
716128
71612 – (8X2) = 71602
7160 – (2X2) = 7160-4 = 7156
715 – (6X2) = 715-12 = 703
70 – (3X2) = 70-6 = 63
विभाजित है।
735826 73582 – (6X2) = 73570
7357 – (0X2) = 7357
735 – (7X2) = 721
विभाजित है।
72 – (1X2) = 70
7 – (0X2) = 7
उपरोक्त उदाहरणों से धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक के द्वारा आश्लेषण प्रक्रिया को करने ज्ञात
हुआ अब हम 9, 3, 7 तथा 1 से अंत होने वाली संख्याओं के धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक को
एकाधिक के नियम से प्राप्त करने विधि को देखेंगे।
सर्वप्रथम 09, 19, 29, 39 इत्यादि अर्थात 9 से अंत होनेवाली संख्याएं।
09 का धनात्मक आश्लेषक (0 9) = {0+1 = 1(0 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (9-1) = 8
19 का धनात्मक आश्लेषक (1 9) = {1+1 = 2(1 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (19-2) = 17
29 का धनात्मक आश्लेषक (2 9) = {2+1 = 3(0 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (29-3) = 26
पुनः 03, 13, 23, 33 इत्यादि अर्थात 3 से अंत होनेवाली संख्याएं।
3 से अंत होनेवाली संख्याओं को 3 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को उपरोक्त एकाधिक विधि से धनात्मक
आश्लेषक प्राप्त करते हैं तथा भाजक से व्यवकलन क्रिया से ऋणात्मक आश्लेषक प्राप्त करते हैं
03 का धनात्मक आश्लेषक (0 3) = {3X3 = 09 = 0+1 = 1(0 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (3-
1) = 2
13 का धनात्मक आश्लेषक (13X3 = 39) = {3+1 = 4(3 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (13-4) =
9
23 का धनात्मक आश्लेषक (23X3 = 69) = {6+1 = 7(6 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (23-7) =
16
पुनः 07, 17, 27, 37 इत्यादि अर्थात 7 से अंत होनेवाली संख्याएं।
7 से अंत होनेवाली संख्याओं को 7 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को उपरोक्त एकाधिक विधि से धनात्मक
आश्लेषक प्राप्त करते हैं तथा भाजक से व्यवकलन क्रिया से ऋणात्मक आश्लेषक प्राप्त करते हैं
07 का धनात्मक आश्लेषक (0 7) = (7X7 = 49) = 4+1 = 5(4 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (7-
5) = 2
17 का धनात्मक आश्लेषक (17X7 = 119) = {11+1 = 12(11 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक
(17-12) = 5
27 का धनात्मक आश्लेषक (27X7 = 189) = {18+1 = 19(18 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक
(27-19) = 8
पुनः 01, 11, 21, 31 इत्यादि अर्थात 1 से अंत होनेवाली संख्याएं।
1 से अंत होनेवाली संख्याओं को 9 से गुणा करके प्राप्त गुणनफल को उपरोक्त एकाधिक विधि से धनात्मक
आश्लेषक प्राप्त करते हैं तथा भाजक से व्यवकलन क्रिया से ऋणात्मक आश्लेषक प्राप्त करते हैं
01 का धनात्मक आश्लेषक (0 1) = (1X9 = 09) = 0+1 = 1(1 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (1-
1) = 0
11 का धनात्मक आश्लेषक (11X9 = 99) = {9+1 = 10(9 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक (11-10)
= 1
21 का धनात्मक आश्लेषक (21X9 = 189) = {18+1 = 19(18 का एकाधिक)} तथा ऋणात्मक आश्लेषक
(21-19) = 2
संख्या 09 19 29 39 49…
(P / N) 1/8 2/17 3/26 4/35 5/44…
संख्या 03 13 23 33 43…
(P / N) 1/2 4/9 7/16 10/23 13/30 …
संख्या 07 17 27 37 47…
(P / N) 5/2 12/5 19/8 26/11 33/14…
संख्या 01 11 21 31 41…
(P / N) 1/0 10/1 19/2 28/3 37/4…
उदाहरण:
1. क्या संख्या 12567 संख्या 59 से विभाजित है?
हल:
भाजक 59 धनात्मक आश्लेषक 5+1 = 6
भाज्य 12567
1256 + 7X6 = 1298
125 + 8X6 = 173
17 + 3X6 = 35
अतः संख्या 12567 संख्या 59 से विभाजित नहीं है।
2. क्या संख्या 243455 संख्या 29 से विभाजित है?
हल:
भाजक 29 धनात्मक आश्लेषक 2+1 = 3
ऋणात्मक आश्लेषक = 29-3 = 26
भाज्य 243455
24345 – 5X26 = 24215
2421 – 5X26 = 2291
229 – 1X26 = 203
20 – 3X26 = (- 58) = 29X2
अतः संख्या 243455 संख्या 29 से विभाजित है।
3. क्या संख्या 19581 संख्या 61 से विभाजित है?
हल:
भाजक 61
धनात्मक आश्लेषक 61X9 = 549 = 54+1 = 55
ऋणात्मक आश्लेषक = 61 – 55 = 6
भाज्य 19581
1958 – 1X6 = 1952
195 – 2X6 = 183 = 61X3
अतः संख्या 19581 संख्या 61 से विभाजित है।
4. क्या संख्या 1071927 संख्या 87 से विभाजित है?
हल:
भाजक 87
धनात्मक आश्लेषक 87X7 = 609 = 60+1 = 61
ऋणात्मक आश्लेषक = 87 – 61 = 26
भाज्य 1071927
107192 – 26X7 = 107010
10701 – 26X0 = 10701
1070 – 26X1 = 1044
104 – 26X4 = 0
अतः संख्या 1071927 संख्या 87 से विभाजित है।
अभ्यास – 1
1. संख्या 32896 को संख्या 59 से धनात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
2. संख्या 4914 को संख्या 39 से ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
प्रश्न 1 तथा 2 में ये निर्धारित कीजिए कि धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक में कोन सा विकल्प
अधिक व्यवहारिक है।
1. संख्या 21953 को संख्या 53 से दोनों धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा
विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
2. संख्या 787514 को संख्या 91 से दोनों धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा
विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
3. संख्या 21953 को संख्या 53 से दोनों धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा
विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
4. संख्या 57387 को संख्या 47 से दोनों धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा
विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
5. संख्या 1052961 को संख्यायें 19, 29, 39 तथा 49 से धनात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की
जाँच कीजिए।
6. संख्या 293601 को संख्यायें 11, 21, 31 तथा 41 से ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की
जाँच कीजिए।
7. संख्या 4738041 को संख्यायें 33, 43, 53 तथा 63 से धनात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की
जाँच कीजिए।
8. संख्या 13820961 को संख्यायें 47, 57, 67 तथा 77 से ऋणात्मक आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की
जाँच कीजिए।
9. संख्या 1673259 को संख्यायें 109, 119, 129 तथा 139 से दोनों धनात्मक आश्लेषक तथा ऋणात्मक
आश्लेषक द्वारा विभाजनीयता की जाँच कीजिए।
http://www.manasganit.com/Post/details/93-divisibility-by-osculator