वृत का क्षेत्रफल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन
Area of Circle Surface Area and Volume of
Sphere

गणित की सबसे बड़ी विशेषता यह है कि यह रोचक, सरल तथा स्पष्ट है परन्तु आज के विशिष्टता आधारित
शिक्षण पद्धति ने हमारे ज्ञान को इतना ज्यादा विकेन्द्रित कर दिया है कि हम शिक्षण के व्यवहारिक पक्ष से
धीरे धीरे दूर होते जा रहे हैं फलतः विषय में क्लिष्टता आती जा रही है। यही कारण है कि हमारे बच्चे मूल
विषय से दूर होते जा रहे हैं। हमारे प्राचीन गणितज्ञों ने गणित को आत्मसात किया था परिणामतः उनके
द्वारा रचित हर श्लोक हमें गणित की अनुभूति कराता है।
भास्कराचार्य – (1114 ई. – 1185 ई.) द्वारा रचित ग्रंथ लीलावती के एक श्लोक के माध्यम से वृत का क्षेत्रफल
(Area of Circle), गोले के पृषठीय क्षेत्रफल (Area of Sphere) तथा गोले के आयतन (Volume of
Sphere) का सूत्र न सिर्फ ज्ञात किया जा सकता है वरन् उसकी अनुभूति भी की जा सकती है।
लीलावती –
वृतक्षेत्रे परिधिगुणितव्यासपादः फलं तत्,
क्षण्णं वेदैरुपरि परितः कन्दुकस्येव जालम् ।
गोलस्यैवं तदपि च फलं पृष्ठजं व्यासनिघ्नं,
षड्भिर्भक्तं भवति नियतं गोलगर्भे घनाख्यम्।।
(1) वृत का क्षेत्रफल (Area of Circle)
वृतक्षेत्रे परिधिगुणितव्यासपादः फलं तत्,
वृत – circle
क्षेत्र – Geometry
परिधि – circumference
गुणिता – multiplied
व्यास – diameter
पादा – one fourth (एक चौथाई /¼)
फलम् – क्षेत्रफल (Area)
वृत का क्षेत्रफल = परिधि × व्यास का चौथाई
Area of Circle = circumference × one fourth of diameter
Area = 2 × pi × r × ¼ D
= pi r²

उदाहरण (Example)
एक वृत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका व्यास 14 से. मी. है।
व्यास = 14 से. मी.
क्षेत्रफल =?

वृत का क्षेत्रफल = परिधि × व्यास का चौथाई
वृत की परिधि = पाई × व्यास
= (22 / 7) × 14
= (22 × 14) ÷ 7
= 44 सेमी.
वृत का क्षेत्रफल = परिधि × व्यास का चौथाई
= (44 × 14) ÷ 4
= 154 सेमी.²
अभ्यास (Exercise) – 1
(1) एक वृत्ताकार मैदान की परिधि 77 सेमी है तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात किजिये।
(2) दो सकेन्द्री वृत की त्रिज्याएं क्रमशः 4 सेमी. तथा 3 सेमी. हो तो वृतिय पट्टी का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(3) एक गाय के गले में 10.5 मीटर लम्बी रस्सी हो तथा उस एक 12 मीटर भुजा वाले वर्गाकार घास के
मैदान में बांधा गया हो तो उस मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसे गाय द्वारा चरा न जा सका
हो।
(4) एक व्यक्ति के हाथ की लम्बाई 4 फीट है तो वह एक जगह खड़ा होकर दीवार के कितने क्षेत्रफल की रंगाई
कर सकता है।
(5) 4.5 सेमी. त्रिज्या वाले 9 वृत एक 27 सेमी. भुजा वाले वर्ग से काटकर अलग कर दिया जाता है तो शेष
भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(2) गोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area of Sphere)
क्षण्णं वेदैरुपरि परितः कन्दुकस्येव जालम् ।
गोला का क्षेत्रफल = 4 × वृत का क्षेत्रफल
Area of Sphere = 4 × Area of Circle
क्षण्णं – गुणा (Multiplication)
वेदः – चार से / वेदों की संख्या (by four)
उपरि  परितः – संपूर्ण पृष्ठीय (Total surface)
कन्दुकस्येव जालम् – गेन्द के समान आकृति पर जालीदार बनावट जो समलम्ब चतुर्भुज की भी रचना करती
है।
उदाहरण (Exercise)
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात किजिये जिसका व्यास 14 सेमी. है ।
हल :-
व्यास = 14 सेमी.
पृष्ठीय क्षेत्रफल =?
14 सेमी. व्यास वाले वृत का क्षेत्रफल = 154 सेमी.²
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × वृत का क्षेत्रफल
= 4 × 154
=  616 सेमी.²

अभ्यास (Exercise) – 2
(1) एक गोले की त्रिज्या 10.5 सेमी. है तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात किजिये।
(2) एक ठोस गोले का व्यास 3.5 सेमी. है तो उस गोले के पृषठीय क्षेत्रफल ज्ञात किजिये।
(3) एक अर्धगोले का व्यास 21 सेमी. है तो उसके संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात किजिये।

(3) गोला का आयतन (Volume of Sphere)
गोलस्यैवं तदपि च फलं पृष्ठजं व्यासनिघ्नं,
गोले का आयतन = गोले का क्षेत्रफल × (व्यास /6)
अर्थात् = (4/3)× पाई × (त्रिज्या)³
Volume of Sphere =
Surface area of Sphere × (Diameter /6)
Or, =  (4/3)× pi × (radius)³
पृष्ठजं = सतह (surface)
व्यासनिघ्नं = व्यास से गुणा (multiplied by diameter)
षड्भिर्भक्तं = 6 से भाग (divide by 6)
भवति नियतं
गोलगर्भे = गोले के अंदरूनी भाग (interior of sphere)
घनाख्यम् = घनफल / आयतन (Volume)
उदाहरण (Exercise)
एक गोले का आयतन /घनफल ज्ञात किजिये जिसका व्यास 14 सेमी. है ।
हल :-
व्यास = 14 सेमी.
आयतन =?
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 सेमी.²
गोले का आयतन = गोले का क्षेत्रफल × (व्यास /6)
= (616 × 14) ÷ 6
= 1437. 333….सेमी.³
अभ्यास (Exercise) – 3
(1) एक गोले के व्यास की माप 7 सेमी. है तो उसका आयतन ज्ञात किजिये।
(2) एक गोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी.² है तो उस गोले का आयतन ज्ञात किजिये।
(3) एक खोखले गोले अंतः तथा बाह्य व्यास क्रमशः 3 सेमी. तथा 4 सेमी. है । उस गोले में प्रयुक्त धातु का
आयतन ज्ञात किजिये।
(4) एक अर्धगोलीय बर्तन का व्यास 17.5 सेमी. है तो उसका आयतन ज्ञात किजिये।
(5) एक खोखले गोले का अन्तः तथा बाह्य व्यास क्रमशः 6 सेमी. तथा 10 सेमी. है तो उसमें प्रयुक्त धातु का
आयतन ज्ञात किजिये।
वृत का क्षेत्रफल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन Area of Circle Surface Area and Volume of
Sphere

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