Combination In Ancient Maths C(nr) (संचय)
।। संचय (Combination) ।।
क्रम की अपेक्षा किये बिना कुछ वस्तुओं (n) को विविध गुटों वाले खाली स्थानों (r) में भरने से अधिकतम जितने प्रकार के समूह (set) प्राप्त करते हैं, वे संचय के भेद होते हैं।
Combination :- The number of selections of n distinct objects taken r at a time is known as combination, denoted by C ( n, r).
सर्वप्रथम श्रीधराचार्य ने संचय गणित के विस्तृत नियम बताए हैं —
एकादद्युत्तरविधिना रसविन्यासे विलोमतो गुणयेत ।
पूर्वेण परं क्रमशो रुपादिचयैर्हरैर्विभजेत् ।।
(— पाटी गणित, श्लोक 62)
अर्थात् —
चिति या संचय-गणित के लिये रसों को क्रमशः एक आदि स्थानों में रखते हुए विभिन्न प्रकार जानने के लिए एकादि को क्रमशः विलोम या विपरीत क्रम में रखते हुए परस्पर गुणित करें। पुनः एकादि से क्रमशः पर संख्यायें रखते हुए विभक्त करें।
इसके लिए चरक में वर्णित 6 रसों का उदाहरण इस प्रकार दिया गया है —
श्रीधराचार्य —
कटुतिक्तकषायाम्ललवणमधुरैः सखै रसैः षड्भिः ।
विदधाति सूपकारो व्यञ्जनमाचक्ष्व कति भेदम् ।।
(—पाटी गणित, उदाहरण, श्लोक – 95)
अर्थात –
हे मित्र, कटु, तिक्त, कषाय, अम्ल, लवण, तथा मधुर इन छः रसों को 1, 2, 3 आदि के मेल से रसोइया क्रमशः कितने प्रकार का व्यंजन बना सकता है, बताओ ?
यहाँ उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर —
C ( 6, 1) = 6 / 1 = 6 ,
अतः सूत्र = n / r
विवरण :-
a(कटु), b(तिक्त), c(कषाय),
d (अम्ल), e(लवण), f ( मधुर)
C(6, 2) = (6 × 5) / (1 × 2) = 15
सूत्र :- n ( n – 1) / r ( r – 1)
विवरण :- 6 रसों को 2 के मेल से रखने पर,
ab, ac, ad, ae, af,
bc, bd, be, bf, cd,
ce, cf, de, df, ef
C ( 6,3) = ( 6 × 5 × 4) / ( 1× 2 × 3) = 20,
सूत्र :- n ( n – 1) (n – 2) / r ( r – 1) ( r – 2)
विवरण :-
abc, abd, abe, abf,
acd, ace, acf, ade,
adf, aef, bcd, bce,
bcf, bde, bdf, bef,
cde, cdf, cef, def,
C ( 6, 4) = ( 6 × 5 × 4 × 3) / (1 × 2 × 3 × 4)
= 15
सूत्र :- n( n – 1).. ( n – 3) / r( r – 1).. (r – 3)
विवरण :-
abcd, abce, abcf, abde, abdf,
abef, acde, acdf, adef, acef,
bcde, bcdf, bcef, bdef, cdef
C( 6,5) = ( 6 × 5 ×… × 2) / ( 1 × 2 ×… 5)
= 6
सूत्र :- n ( n – 1)…. ( n – 4) / r (r – 1)…. (r – 4)
विवरण :-
abcde, abcdf, abcef, abdef, acdef, bcdef
C (6, 6) = (6 × 5 ×…. × 1) / ( 1 × 2 ×…. × 6)
सूत्र :- n ( n – 1)…. (n – 5) / r (r – 1)…. (r – 5)
विवरण :- abcdef
इन सभी सूत्रों के आधार पर संचय का व्यापक सूत्र —
सूत्र (1) :- C ( n, r) = n! / (n – r)! r!
सूत्र (2) :- C ( n, 0) = 1
सूत्र (3) :- C ( n, n) = 1
सूत्र (4) :- C ( n, a) = C ( n, b) => n = a+b
उदाहरण (Example) :-
एक सभा में 25 लोग एक-दूसरे से हाथ मिलाते हैं तो बतायें कि उस सभा में कुल कितने हाथ मिलाये गये?
( In a party of 25 people each shakes hands with the others. Find the number of hand shakes took place in the party?)
हल ( solution) :-
कुल संख्या ( n) = 25
एक हाथ मिलाने में संख्या (r) = 2
सूत्र (Formula) :- C ( n, r) = n! / (n – r)! r!
कुल संचय = C ( 25, 2)
= 25! / (25-2)! × 2!
= 25! / 23! × 2!
= ( 23! × 24 × 25) / 23! × 2!
= ( 24 × 25) / 1 × 2
= 600 ÷ 2
= 300 ( उत्तर)
अभ्यास (Exercise) :-
(1)
(i) यदि C ( n, 9) = C ( n, 8), तो C ( n, 17) का मान ज्ञात किजिए।
(ii) यदि C(n, 8) = C (n, 2), तो C(n, 2) का मान ज्ञात किजिए।
(2) n का मान ज्ञात किजिए :-
(i) C (2n, 3) : C(n, 3) = 12 :1
(ii) C (2n, 3) : C( n, 3) = 11 : 1
(3) किसी वृत पर 21 बिन्दओं से कितनी जीवा खिंची जा सकती है? ( How many chords can be drawn through 21 points on a circle?)
(4)
(i) कितने प्रकार से 5 लड़के तथा 4 लड़कियों में से 3 लड़के तथा 3 लड़कियों के समूह को चुना जा सकता है? (In how many ways can a team of 3 boys and 3 girls be selected from 5 boys and 4 girls?)
(ii) एक थैले में 5 काली तथा 6 लाल गेन्द है, ये बतायें कि उसमें से 2 काली तथा 3 लाल के समूह कितने प्रकार से निकाला जा सकता है? (A bag contain 5 black and 6 red balls. Determine the number of ways in which 2 black and 3 red balls can be selected?)
(5) एक समूह में 4 लड़कियाँ तथा 7 लड़के हैं। उसमें से 5 बच्चों के समूह कितने प्रकार से तैयार किये जा सकते हैं कि —
(क) कोई लड़की न हो?
(ख) कम से कम एक लड़की तथा एक लड़का हो?
(ग) कम से कम 3 लड़कियाँ हो?
(A group consists of 4 girls and 7 boys. In how many ways can a team of 5 members be selected if the team has
(i) no girl?
(ii) at least 1 boy and 1 girl?
(iii) at least 3 girls?
Combination In Ancient Maths C(nr) (संचय)
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