Multiplication Ekadhikena purvena (गुणन एकाधिकेन पूर्वेण) 

सूत्र – एकाधिकेन पूर्वेण –
पहले से एक अधिक के द्वारा
(One more than the existing one)
प्रथम स्थिति (First Condition)
उपसूत्र – अन्त्योर्दशकेअपि – 
अंतिम अंको का योग दस।
(Sum of last digits is ten.)
गोवर्धन पीठ, पूरी के 143 वें शंकराचार्य जगत गुरु स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ जी महाराज द्वारा रचित वैदिक गणित के उपरोक्त सूत्र (formula) के प्रयोग के द्वारा विशेष(special) परिस्थितियों (conditions) में गुणा (multiply) किया जा सकता है जब किसी दो संख्याओं के इकाई-अंकों (ones-place) का योग (Sum) दस (ten) हो तथा दहाई (tens) या शेष (rest) अंक (digits) समान ( equal) हो।
जैसे – 25 × 25, 38 × 32, 46 × 44, 53 × 57, 69 ×61, 105 × 105
उपरोक्त उदाहरण (example) में इकाई अंकों का योग दस है – 5 + 5, 8 + 2, 6 + 4, 3 + 7, 9 + 1 इत्यादि तथा दहाई या शेष अंक समान है – 2 – 2, 3 – 3, 4 – 4, 5 – 5, 6 – 6, 10 – 10
बीजगणितीय विश्लेषण ( Algebraic analysis)
(X5)² = ( 10 X + 5)²
= ( 10 X + 5) ( 10 X + 5)
= 10 X ( 10 X + 5) + 5 ( 10 X + 5)
= 100 X² + 50 X + 50 X + 25
= 100 X² + 100X + 25
= 100 X ( X + 1) + 25
= X ( X + 1) सैकड़ा (hundreds) + 25

उदाहरण :-
(1)      25 × 25 = 2 × ( 2 + 1) / 5 × 5
= 2 × 3 / 25
= 6 25
(2)      38 × 32 = 3 × ( 3 + 1) / 8 × 2
= 3 × 4 / 16
= 12 16
(3)       46 × 44 = 4 × ( 4 + 1) / 6 × 4
= 4 × 5 / 24
= 20 24
(4)      53 × 57 = 5 × ( 5 + 1)  / 3 × 7
= 5 × 6 / 21
= 30 21
(5)      69 × 61 = 6 × ( 6 + 1) / 1 × 9
= 6 × 7 / 09
= 42 09
(6)  105 × 105 = 10 × ( 10 + 1) / 5 × 5
= 10 × 11 / 25
= 110 25

अभ्यास (Exercise)   -1-
(1)  35 × 35             (11) 62 × 68
(2)  45 × 45             (12)  73 × 77
(3)  55 × 55             (13)  81 × 89
(4)   65 × 65            (14)  94 × 96
(5)   75 × 75            (15)  103 × 107
(6)   85 × 85            (16)  114 × 116
(7)   95 × 95            (17)  205 × 205
(8)  105 × 105        (18) 306 × 304
(9)   115 × 115       (19) 508 × 502
(10) 125 ×125       (20) 501 × 509

द्वितीय स्थिति (Second Condition)
उपसूत्र – अन्त्योर्शतकेऽपि – 
अंतिम अंको का योग सौ ।
(Sum of last digits is hundred .)
जब किसी दो संख्याओं के दांये के अंकों (digits at right ) का योग (Sum) सौ (hundred)  हो तथा शेष (rest) अंक (digits) समान ( equal) हो।
जैसे – 295 × 205, 389 × 311
उपरोक्त उदाहरण (example) में  दांये के अंकों (digits at right ) का योग (Sum) सौ (hundred)  है –
95 + 05, 89 + 11 इत्यादि तथा शेष अंक समान है –
2 – 2, 3 – 3
(1)      295 × 205
= 2 × ( 2 + 1) / 95 × 05
= 2 × 3 / 0475
= 6 04755
(2)      389 × 311
= 3 × ( 3 + 1) / 89 × 11
= 3 × 4 / 0979
= 12 0979

अभ्यास (Exercise)   -2-
(1) 493 × 403           (2) 588 × 512
(3) 781 × 719           (4) 978 × 922
(5) 1092 × 1008      (6) 1187 × 1113
(7) 1975 × 1925      (8) 4976 × 4924
(9) 2055 × 2045      (10) 8989 × 8911

तृतीय स्थिति (Third Condition)
उपसूत्र – अन्त्योर्सहस्त्रकेऽपि – 
अंतिम अंको का योग हजार ।
(Sum of last digits is thousand.)
जब किसी दो संख्याओं के दांये के अंकों (digits at right ) का योग (Sum) हजार (thousand)  हो तथा शेष (rest) अंक (digits) समान ( equal) हो।
जैसे – 2995 × 2005, 3989 × 3011
उपरोक्त उदाहरण (example) में  दांये के अंकों (digits at right ) का योग (Sum) सौ (hundred)  है –
995 + 005, 989 + 011 इत्यादि तथा शेष अंक समान है –
2 – 2, 3 – 3
(1)      2995 × 2005
= 2 × ( 2 + 1) / 995 × 005
= 2 × 3 / 004975
= 6 0049755
(2)      3989 × 3011
= 3 × ( 3 + 1) / 989 × 011
= 3 × 4 / 010879
= 12 010879

अभ्यास (Exercise)   -3-
(1) 4988 × 4012        (2) 5993 × 5007
(3) 6987 × 6013        (4) 7992 × 7008
(5) 8986 × 8014        (6) 9991 × 9009
(7) 10985 × 10015    (8) 10984 × 10016
(9) 11996 × 11004   (10) 12981 × 12019

चतुर्थ स्थिति (Fourth Condition)
आद्ययोर्दशकम्
प्रथम संख्याओं का योग 10
Sum of the first is 10
इस गुणन प्रक्रिया में संख्याओं के इकाई अंक समान होते हैं तथा शेष /दहाई अंकों का योग 10 होता है।
64 × 44, 83 × 23, 76 × 36
उपरोक्त उदाहरणों में संख्याओं के इकाई अंक समान है जैसे (4, 4), (3, 3), (6, 6) तथा दहाई अंकों का योग 10 है जैसे 6 + 4 = 8 + 2 = 7 + 3 = 10. ऐसे गुणन प्रक्रिया गुणनफल ज्ञात करने के लिए संख्याओं के इकाई अंकों के गुणनफल को दायीं तरफ़ तथा दहाई अंकों के गुणनफल के इकाई अंक में समान अंकों में एक अंक का योग करने पर प्राप्त परिणाम बांयी तरफ़ लिखेंगे इस प्रकार संख्याओं का गुणनफल प्राप्त किया जाता है।
उदाहरण :-
(1)       6     4           (2)         8       3
×  4     4                      × 2       3
– – – – – – – – – –                    – – – – – – – – –
( 6×4 + 4) / 16          (8×2 + 3) / 09
= 2 8 1 6 (Ans)        =1 9 0 9 (Ans)

अभ्यास (Exercise) -4-
(1) 64 × 44
(2) 49 × 69
(3) 28 × 88
(4) 48 × 68
(5) 38 × 78
(6) 47 × 67
(7) 16 × 96
(8) 56 × 56
(9) 24 × 84
(10) 32 × 72

Multiplication Ekadhikena purvena (गुणन एकाधिकेन पूर्वेण) 

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