Division By Flag Method (भाग ध्वजांक विधि)

जब घटाव या व्यवकलन की संक्रिया की पुनरावृत्ति की जाती है तो उस संक्रिया को विभाजन /भाग कहते हैं।
यदि x तथा y पूर्ण संख्याएँ हैं तथा y ≠ 0 तो x ÷ y अर्थात्  x/y  से अभिप्राय उस संख्या से है, जिसे y से गुणा
करने पर पूर्ण संख्या x प्राप्त होती है।
भाग संक्रिया के मुख्य अवयव हैं —
भाज्य ( Dividend)
भाजक (Divisor)
भागफल (Quotient)
शेषफल (Remainder)
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
ध्वजांक विधि (Flag Method)
भाग करने की यह वैदिक गणितीय विधि सूत्र "ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम्" (Vertically and Crosswise) एवं
ध्वजांक (Flag digits) पर आधारित है। यहाँ ध्वजांक का अर्थ है ध्वज (flag) की तरह उपर रखी संख्या से
है। इस विधि में भाजक (divisor) के अंकों को दो भागों में विभाजित करते हैं। दायें भाग को भाज्य के बाईं
ओर रखते हैं, इसे ध्वजांक (flag) कहते हैं ।ध्वजांक के नीचे बाईं ओर थोड़ा हटकर भाजक के बाएँ भाग को
लिखते हैं। सभी विभाजन प्रक्रिया इसके द्वारा ही होता है। इसे भाजक (divisor) कहते हैं। ध्वजांक में अंकों
की संख्या के बराबर अंक दाईं ओर से गिनकर एक रेखा खींची जाती है, जिसके दाईं ओर शेषफल खण्ड
(Remainder part) प्रदर्शित होता है। अब इस चुने हुए भाजक से भाज्य के बाएँ भाग को भाग दिया जाता है।
भाग देने पर जो शेषफल प्राप्त होता है उसे भाज्य के अगले अंक से कुछ पहले, परन्तु पंक्ति से नीचे लिखा
जाता है। यह संख्या भाज्य के अगले अंक के साथ गणना की जाती है। अब प्रात भागफल और ध्वजांक में बाएँ
से दाएँ ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् (Vertically and Crosswise) का प्रयोग कर गुणनफल ज्ञात किया जाता है। इस
गुणनफल को नये भाज्य से घटकर संशोधित भाज्य प्राप्त किया जाता है। पूर्व की भांति इसे पुनः पहले अंक के
आगे उसी प्रकार लिखा जाता है। फिर से भाग की क्रिया इस भाज्य में की जाती है और ध्वजांक से नये
भागफल का गुणा करना, घटाना तथा नया भाज्य ज्ञात करना और फिर भाग करना आदि बारंबार अंत तक
चलता रहता है, जब तक कि अंतिम संशोधित शेषफल प्राप्त नहीं हो जाता।
उदाहरण (Example) – 1
457 ÷ 32
हल (Solution) :-
भाज्य (Dividend) – 457
भाजक (Divisor) – 32
ध्वजांक (Flag digits) – 2
संशोधित भाजक (Revised Divisor) – 3
भाजक        भाज्य  खण्ड          शेषफल खण्ड
3  2                  4   5               7
¹               ¹
ध्वजांक – 2               2               8

संशोधित भाजक – 3
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4      13            9
———–|————————-|——————-
1       4             9

चरण बद्ध भाग की प्रक्रिया का विश्लेषण (Step wise explanation of Division process)
(i) भाजक के दो हिस्से करते हैं –
ध्वजांक (flag digits)  और संशोधित भाजक।
यहाँ संशोधित भाजक 3 तथा ध्वजांक 2 है। ध्वजांक संशोधित भाजक के थोड़ा ऊपर लिखा जाता है।
(ii) भाग की क्रिया हमेशा संशोधित भाजक से किया जाता है।
(iii) ध्वज में जितने अंक रहते हैं, विभाजन रेखा भाज्य के इकाई अंक की ओर से उतने अंक छोड़कर खींची
जाती है। यहां ध्वज में एक अंक है अतः इकाई की ओर से एक अंक 7 छोड़कर लंबवत् विभाजन रेखा खींची
गई है।
(iv) संशोधित भाजक से भाग देना आरंभ करते हैं।
4 ÷ 3 में भागफल = 1, शेषफल = 1
भागफल 1 क्षैतिज रेखा के नीचे लिखेंगे।
शेषफल 1, भाज्य के अगले अंक 5 के सामने थोड़ा नीचे लिखते हैं।
प्राप्त हुआ 15 यह सकल भाज्य है। अभी ध्वजांक की क्रिया करने तक 15 से भाग नहीं करेंगे।
(v) ध्वजांक × भागफल का प्रथम अंक = 2 × 1 = 2 इस गुणनफल को सकल भाजक 15 से घटाने पर 15 —
2 = 13 जोकि अगला संशोधित भाज्य है। इसमें 3 से भाग देंगे। 13 ÷ 3, भागफल = 4, शेषफल = 1
(vi) 4 भागफल में उत्तर का द्वितीय अंक है। शेषफल 1 को भाज्य के अगले अंक 7 के थोड़ा नीचे लिखेंगे। प्राप्त
हुआ 17
(vii) भागफल में उत्तर का द्वितीय अंक × ध्वजांक =   4 × 2 = 8 प्राप्त गुणनफल को 17 से घटाने पर 17 – 8
= 9
इसी के साथ भाज्य खण्ड के अंक खत्म हो चुके हैं अतः समाप्त करते हैं। परन्तु यदि दशमलव के अंको में
भागफल चाहिए तो भाग की संक्रिया जारी रख सकते हैं।
अतः भागफल = 14 तथा शेषफल = 9
उदाहरण (Example) – 2
876593  ÷ 512
हल (Solution) :-
भाज्य (Dividend) – 876593
भाजक (Divisor) – 512
ध्वजांक (Flag digits) – 12
संशोधित भाजक (Revised Divisor) – 5
भाजक        भाज्य  खण्ड          शेषफल खण्ड
5  1 2          8  7  6  5            9  3
³    ¹   ¹
ध्वजांक – 1 2         1   2
8  4
संशोधित भाजक – 5             1          2
2   4
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संशोधित भाज्य –     36  6   10          (93 – 44)
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1   7   1   2           4  9

(i) सर्वप्रथम 8 ÷ 5 = भागफल = 1 तथा शेषफल 3
(ii) शेषफल 3 को अगले भाजक 7 के थोडा नीचे लिखेंगे तो भाजक 37 होग, भागफल 1 से ध्वजांक 1 2 से
गुणा करने पर प्राप्त अंक 1 तथा 2 को क्रमशः भाजक दुसरे तथा तीसरे अंक के नीचे लिखेंगे।
(iii) अगला संशोधित भाज्य 37 – 1 = 36
(iv) पुनः 36 ÷ 5 = भागफल = 7 तथा शेषफल = 1
(v) शेषफल 1 को भाजक के तीसरे अंक 6 के थोड़ा नीचे लिखेंगे तो भाजक 16 होगा, भागफल 7 से ध्वजांक 1
2 से गुणा करने पर प्राप्त अंक 8 तथा 4 को क्रमशः भाजक  तीसरे तथा चौथे अंक के नीचे लिखेंगे।
(vi) अगला संशोधित भाज्य {16 – (2 + 8)} = 6
(vii) पुनः 6 ÷ 5 = भागफल = 1 तथा शेषफल = 1
(viii) शेषफल 1 को भाजक के चौथे 5 अंक  के थोड़ा नीचे लिखेंगे तो भाजक 15 होगा, भागफल के तीसरे
अंक 1 से ध्वजांक 1 2 से गुणा करने पर प्राप्त अंक 1 तथा 2 को क्रमशः भाजक चौथे तथा पांचवें अंक के नीचे
लिखेंगे।
(ix) अगला संशोधित भाज्य {15 – (4 + 1)} = 10
(x) पुनः 10 ÷ 5 = भागफल = 2 तथा शेषफल = 0
(xi) शेषफल 0 को भाजक के पांचवें 5 अंक  के थोड़ा नीचे लिखेंगे। इसके पश्चात भाज्य खण्ड के अंक खत्म हो
चुके हैं। भागफल के चौथे अंक 2 से ध्वजांक 1 2 से गुणा करने पर प्राप्त अंक 2 तथा 4 को क्रमशः भाजक
पांचवें तथा छठे अंक के नीचे लिखेंगे।
(xii) शेषफल की गणना के लिए शेषफल खण्ड में 93 तथा दहाई अंक पर 2 अर्थात् 20 तथा उसके नीचे 24
है।
अतः शेषफल = 93 — (20 + 24) = 49
इसी के साथ भाज्य खण्ड के अंक खत्म हो चुके हैं अतः समाप्त करते हैं। परन्तु यदि दशमलव के अंको में
भागफल चाहिए तो भाग की संक्रिया जारी रख सकते हैं।
अतः भागफल = 1712  तथा शेषफल = 49
उदाहरण (Example) – 3
8976543  ÷ 6123
हल (Solution) :-
भाजक        भाज्य  खण्ड          शेषफल खण्ड
6  1 2   3         8  9  7   6            5   4   3
²   ⁴    ⁿ            ³    ⁿ   ⁴
ध्वजांक – 1 2 3

संशोधित भाजक – 6
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संशोधित भाज्य –  8
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1   4   6   6              225
नोट :- n = 5 लिया गया है।

(i) ध्वज में तीन अंक है अतः भाज्य के इकाई अंक से तीन अंक छोड़कर विभाजन रेखा खीचेंगे।
(ii) सर्वप्रथम 8 ÷ 6 = भागफल = 1 तथा शेषफल 2
(iii) 29 — (1 × 1) = 28 { 123 × 001  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
(iv) 28 ÷ 6 = भागफल = 4 तथा शेषफल 4
(v) 47 — [(1× 4) + (2 × 1)] = 41 { 123 × 014  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
(vi) 41 ÷ 6 = भागफल = 6 तथा शेषफल 5
(vii) 56 — [(1× 6) + (2 × 4)+ (1 × 3)] = 39 { 123 × 146  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
(viii) 39 ÷ 6 = भागफल = 6 तथा शेषफल 3
(ix) 35 — [(1× 6) + (6 × 2)+ (4 × 3)] = 5 { 123 × 466  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
54 — [(2× 6) + (3 × 6)] = 24 { 23 × 66  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
243 — [3× 6 ] = 225 { 3 × 6  का ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम् सूत्र से गुणा}
अतः भागफल = 1466
शेषफल = 225
अभ्यास (Exercise) – 1
(1) 3875 ÷ 31
(2) 4032 ÷ 34
(3) 23062 ÷ 41
(4) 29055 ÷ 43
(5) 10025 ÷ 29
(6)10912 ÷ 46
(7) 32056 ÷ 42
(8) 10998 ÷ 47
(9) 21768 ÷ 37
अभ्यास (Exercise) – 2
(1) 32226 ÷ 213
(2) 90992 ÷ 211
(3) 79092 ÷ 234
(4) 82134 ÷ 243
(5) 75675 ÷ 322
(6)159394 ÷ 687
(7) 211572 ÷ 324
(8) 968229 ÷ 431
(9) 6574625 ÷ 787
अभ्यास (Exercise) -3
(1)  54897 ÷ 3121
(2) 674948 ÷ 4213
(3) 1948763 ÷ 7122
(4) 9874468 ÷ 8213
(5) 19596548 ÷ 6122
(6) 6344152 ÷ 7354
(7) 132153 ÷ 2315
(8) 29694998 ÷ 43224
(9) 20026958 ÷ 32146

Division By Flag Method (भाग ध्वजांक विधि)
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