वैदिक गणित के माध्यम से निखिलम् विधि से गुणा ( Nikhilam Method of Multiplication ) समझने का प्रयास करेंगे।
जगद्गुरु स्वामी भारती कृष्ण तीर्थ जी महाराज द्वारा रचित वैदिक गणित गुणन प्रक्रिया (nikhilam multiplication) के लिए एक सूत्र निखिलम् है जिसके माध्यम से आधार (base)- 10, 100, 1000, 10000… इत्यादि तथा उपाधार (sub-base) – 20, 30, 200, 300, 4000, 50000,….. इत्यादि के नजदीक के संख्याओं का गुणनफल सरल तथा रोचक ढ़ंग से प्राप्त किया जा सकता है।
~आधार अथवा उपाधार के निकटता के आधार पर विचलन विधि को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है।
प्रथम – आधार अथवा उपाधार से छोटी संख्या यथा 9, 8,….., 99, 98, 97,…., 998, 997, 996, 989,…., 9997, 9996,…… इत्यादि।
द्वितीय – आधार अथवा उपाधार से बड़ी संख्या यथा 11, 12,…, 101, 102,…, 1002, 1003,….., 10002, 10003, 10004… इत्यादि ।
Nikhilam Method of Multiplication of Two numbers
सर्वप्रथम विचलन विधि के अन्तर्गत हम आधार से छोटी संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को समझने का प्रयास करेंगे—
इस विधि ( Nikhilam Sutra in Vedic Maths) को हम तीन उदाहरण के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
ज्यादा जानकारी के लिए नीचे दिए गए लिंक से सम्बंधित जानकारी ले सकते हैं।
उदाहरण ( १)
8 × 9
यहाँ 8 आधार 10 से 2 छोटा है तथा 9 आधार 10 से 1 छोटा है
( 8 / – 2 ) × ( 9 / – 1)
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( – 2 × – 1 = +2)
बांया पक्ष – ( 8 – 1 या 9 – 2 = 7)
अतः 8 × 9 = 72 ( उत्तर)
उदाहरण ( २ )
98 × 97
यहाँ 98 आधार 100 से 02 छोटा है तथा 97 आधार 100 से 03 छोटा है
( 98 / – 02 ) × ( 97 / – 03 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( – 02 × – 03 = +06 )
बांया पक्ष – ( 98 – 03 या 97 – 02 = 95)
अतः 98 × 97 = 9506 ( उत्तर)
उदाहरण ( ३ )
996 × 992
यहाँ 996 आधार 1000 से 004 छोटा है तथा 992 आधार 1000 से 008 छोटा है
( 996 / – 004 ) × ( 992 / – 008 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( – 004 × – 008 = +032 )
बांया पक्ष – ( 996 – 008 या 992 – 004 = 988)
अतः 996 × 992 = 988032 ( उत्तर )
अभ्यास – 1
(1) 7 × 8 =
(2) 8 × 6 =
(3) 98 × 99 =
(4) 97 × 96 =
(5) 96 × 95 =
(6) 91 × 93 =
(7) 89 × 96 =
(8) 88 × 91 =
(9) 998 × 996 =
(10) 997 × 995 =
(11) 993 × 992 =
(12) 991 × 988 =
(13) 985 × 993 =
(14) 987 × 994 =
(15) 9992 × 9993 =
(16) 9991 × 9989 =
(17) 9988 × 9993 =
(18) 9981 × 9980 =
(19) 9976 × 9997 =
(20) 99998 × 99988 =
आधार से बड़ी संख्याओं के निखिलम् विधि से गुणा ( Nikhilam Method of Multiplication )
दूसरे भाग में विचलन विधि के अन्तर्गत हम आधार से बड़ी संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को समझने का प्रयास करेंगे—
इस विधि को हम तीन उदाहरण के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
उदाहरण ( १)
12 × 13
यहाँ 12 आधार 10 से 2 बड़ा है तथा 13 आधार 10 से 3 बड़ा है
( 12 / + 2 ) × ( 13 / + 3 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( + 2 × + 3 = + 6 )
बांया पक्ष – ( 12 + 3 या 13 + 2 = 15)
अतः 12 × 13 = 15 6 ( उत्तर)
उदाहरण ( २ )
106 × 112
यहाँ 106 आधार 100 से 06 बड़ा है तथा 112 आधार 100 से 12 बड़ा है
( 106 / +06 ) × ( 112 / + 12 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( +06 × +12 = + 72 )
बांया पक्ष – ( 106 + 12 या 112 + 06 = 118 )
अतः 106 × 112 = 118 72 ( उत्तर)
उदाहरण ( ३ )
1006 × 1011
यहाँ 1006 आधार 1000 से 006 बड़ा है तथा 1011 आधार 1000 से 011 बड़ा है।
( 1006 / + 006 ) × ( 1011 / + 011 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को दो पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – ( + 006 × + 011 = +066 )
बांया पक्ष – (1006 + 011 या 1011 + 006 = 1017 )
अतः 106 × 1011 = 1017066 ( उत्तर )
अभ्यास – 2
(1) 12 × 14 =
(2) 16 × 18 =
(3) 104 × 106 =
(4) 107 × 109 =
(5) 112 × 107 =
(6) 113 × 104 =
(7) 107 × 115 =
(8) 109 × 116 =
(9) 1008 × 1012 =
(10) 1009 × 1017 =
(11) 1011 × 1012 =
(12) 1019 × 1020 =
(13) 1006 × 1008 =
(14) 1016 × 1011 =
(15) 10006 × 10002 =
(16) 10011 × 10013 =
(17) 10105 × 10105 =
(18) 10098 × 10092 =
(19) 10118 × 10112 =
(20) 10086 × 10099 =
भाग – 3
तीसरे भाग में विचलन विधि के अन्तर्गत हम आधार से बड़ी तथा छोटी संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को समझने का प्रयास करेंगे—
इस विधि हम तीन अंकों की संख्याओं के गुणन प्रक्रिया को विभिन्न उदाहरणों के द्वारा समझने का प्रयास करेंगे।
उदाहरण ( १)
12 × 13 × 14
यहाँ 12 आधार 10 से 2 बड़ा है तथा 13 आधार 10 से 3 बड़ा है तथा 14 आधार 10 से 4 बड़ा है।
( 12 / + 2 ) × ( 13 / + 3 ) × ( 14 / +4)
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष
दांया पक्ष – { (+ 2) × (+ 3) × (+4) = + 24 )
मध्य पक्ष – { (+2) × (+3) + (+3) × (+4) + (+4) × (+2 )}
(+6) + (+12) + ( +8) = + 26
बांया पक्ष – ( 12 + 3 +4, 13 + 2 +4 या 14 +2 +3 = 19)
अतः 12 × 13 × 14 = 19 / 26 / 24
= 19 +2 / 6 +2 / 4
= 21 8 4 ( उत्तर)
उदाहरण ( २ )
98 × 97 × 94
यहाँ 98 आधार 100 से 02 छोटा है, 97 आधार 100 से 03 छोटा है तथा 94 आधार 100 से 06 छोट़ा है
( 98 / – 02 ) × ( 97 / – 03 ) × ( 94 / – 06)
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे बांया दांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा बांया पक्ष।
दांया पक्ष – { (- 02) × (-03) × (-06) = – 36 )
मध्य पक्ष – { (-02) × ( – 03) + ( – 03) × (-04) + (-04) × ( – 02)
= { +06 + 12 + 08}
= + 26
बांया पक्ष – { (98 – 03 – 06) या (97 – 02 – 06) या (94 – 02 – 03 )}
= 89
अतः 98 × 97 × 94 = 89 / +26 / – 36
= 89 / (26 – 1) / (100 – 36)
= 89 25 64 ( उत्तर)
उदाहरण ( ३ )
1006 × 997 × 1011
यहाँ 1006 आधार 1000 से 006 बड़ा है, 997 आधार 1000 से 003 छोटा है तथा 1011 आधार 1000 से 011 बड़ा है।
( 1006 / + 006 ) × ( 997 / – 003) × ( 1011 / + 011 )
यहाँ उपरोक्त प्रश्न के उत्तर को तीन पक्ष में विभक्त करेंगे दांया पक्ष, मध्य पक्ष तथा दांया पक्ष।
दांया पक्ष – { (+ 006) × ( – 003) × (+ 011) = – 198 }
मध्य पक्ष – { (+ 006) ×(-003) + (-003)× (+011) + (+011) × (+006)}
= { – 018 + ( – 033) + 066}
= 015
बांया पक्ष – (1006 – 003 + 011 या 997 + 011 + 006 या 1011 + 006 – 003 = 1014 )
अतः
106 × 997 × 1011
= 1014 / 015 / – 198
= 1014 / (015 – 1) / (1000 – 198)
= 1014 013 8 02 (उत्तर )
अभ्यास – 3
(1) 8 × 9 × 7 =
(2) 9 × 12 × 6 =
(3) 12 × 14 × 13 =
(4) 13 × 8 × 15 =
(5) 92 × 94 × 96 =
(6) 93 × 104 × 97 =
(7) 105 × 107 × 89 =
(8) 111 × 102 × 108 =
(9) 1008 × 998 × 1012 =
( 10) 996 × 991 × 1012
( 11) 1008 × 1007 × 1054 =
( 12) 995 × 988 × 990 =
( 13) 991 × 988 × 1002 =
( 14) 1013 × 997 × 1004 =
( 15) 10012 × 10008 × 10009
( 16) 9997 × 9992 × 9995 =
( 17) 9993 × 9989 × 10015 =
( 18) 10014 × 9994 × 10017 =
( 19) 91 × 112 × 105 =
( 20) 1025 × 1015 × 985 =